martes, 19 de julio de 2011

SUCESIÓN


SUCESIONES
DEFINICION: Existes funciones especiales que tiene como dominio el conjunto de los enteros positivos lo cual nos permite ordenar  los valores de sus rango o recorridos. Estos conjuntos ordenados se llamarán sucesiones.
Una sucesión es una función definida de los naturales sin el cero (Z+) en otro conjunto de números reales.
Ejemplo 1: Escribe los cinco primeros términos de la siguiente sucesión:                                                 an = 1/n
Solución: Remplazamos al n por los valores: n = 1 → a1 = 1/1,   n= 2 → a2 = ½,     n=3  → a3 = 1/3,  n = 4 →  a4 = ¼,  n= 5 → a5 = 1/5
La sucesión  es el conjunto ordenado: {1,½,1/3,1/5,………….. 1/n}
El término 1/nse llama término n-ésimo  o  término general
Ejercicios  1.
Escribe los ocho primeros términos de cada una de las siguientes sucesion:

a)  an=2n    b) an=(-1)n/n    c) an=2/n     d) an=n+1/n        e) an=n -1

DETERMINACIÓN  DEL  TÉRMINO GENERAL  DE UNA SUCESIÓN
Dada un conjunto cuyos términos están ordenados, es posible hallar el término general que caracteriza a todos los elementos de la sucesión.
EJEMPLO 2: A = { 0,1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6,………..}
Podemos hallar el término general de esta sucesión, y lo expresaremos en función de la letra n que representa a cualquier entero positivo. Analicemos en esta forma
Los numeradores son: 0, 1, 2, 3, 4, 5,….. . Tenemos que 1-1 = 0, 2-1 = 1, 3-1= 2 por lo tanto la función del numerador es n-1.
Los denominadores son: 1, 2, 3, 4, 5, 6,……Tenemos que el denominador es n.  Entonces el término general de la sucesión es: an= n-1/n
EJEMPLO 3: B = {0, 7/3, 26/3, 9, 124/9, 215/11,……}

Analicemos:
Los numeradores representa una unidad menos del cubo de cada entero positivo tenemos que: 13 – 1 = 0;   23 – 1= 8- 1= 7;  33-1= 27-1 = 26   :   43-1=64-1=63;   53 – 1 = 125 – 1 = 124;  etc.
Los denominadores son los números impares cuya ecuación es: 2n-1
El término general es: an=n3-1/2n-1
EJEMPLO 4: D ={ -1 , 4, -9, 16 , -25 , 36 , -49 . 81 , ………}

Analicemos:
Los términos tienen signos alternados, es decir, después de negativo sigue positivo, entonces el término general multiplicado  por (-1)n.
Los números de la sucesión son los cuadrados de los enteros positivos.
Luego, la sucesión su término general es: an= (-1)n.n2
Ejercicios  2
Deduce el término general o n-ésimo para que escribas las sucesiones de cada uno de los siguientes conjuntos ordenados:

a) {1/2, 4/5, 9/10, 16/17, 25/26,.........}
a.  
a.     b)  {2, 1/8, 4/27, 3/64, 6/125, 5/216,……..}

a.     c){0,3/2, 8/3, 15/4, 24/5,…….}

a.     d){1/2, ¼, 1/8, 1/16,……..}

a.     e)  {1/3, 3/5, 5/7, 7/9,………}

a.      f){3/16, -4/25, 5/36, -6/40,………}

CLASIFICACIÓN  DE LAS SUCESIONES

1.  1SUCESIÓN DECRECIENTE: Una sucesión es decreciente si el aumentar el valor de n, el valor del término de la sucesión  disminuye.
Por ejemplo {½, ¼, 1/6, 1/8,………. 1/2n}
Observamos que los términos van disminuyendo.


1.   2. SUCESIÓN CRECIENTE: Una sucesión es creciente si al aumentar el valor de n, el valor del término de la sucesión también aumenta.
Por ejemplo  {2, 5/2, 10/3, 17/4, 25/5,……… n2+1/n}
Observamos que los términos van aumentando.

1.  3.  SUCESIÓN ALTERNANTE: Una sucesión es alternante cuando no es creciente ni decreciente, pero los signos están alternados en los términos. Por ejemplo {-1, ½, -1/3, ¼, -1/5,…….. (-1)n/n}.

Ejercicios 3
Clasifica las siguientes sucesiones como crecientes, decrecientes o alternantes:


a.   a) {1, 0, 2, 0, 3, 0,………}
b.   b)  {n/n+1}
c.   c)  {0, -1, 2, -3, 4, -5,……}
d.  d)  {n2/n3+1}
e.   e) {-1, 8, 23, 44, 71,………}
f.    f) { 3n + 1 }
g.  g) { 2n – 1/n}
h.  h)  { n }
i.    i)  { 1 - 1/n+1}
j.     j) { 3n – 1/n+1}



 

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