SUCESIONES
DEFINICION: Existes funciones especiales que tiene como dominio el conjunto de los enteros positivos lo cual nos permite ordenar los valores de sus rango o recorridos. Estos conjuntos ordenados se llamarán sucesiones.
Una sucesión es una función definida de los naturales sin el cero (Z+) en otro conjunto de números reales.
Ejemplo 1: Escribe los cinco primeros términos de la siguiente sucesión: an = 1/n
Solución: Remplazamos al n por los valores: n = 1 → a1 = 1/1, n= 2 → a2 = ½, n=3 → a3 = 1/3, n = 4 → a4 = ¼, n= 5 → a5 = 1/5
La sucesión es el conjunto ordenado: {1,½,1/3,1/5,………….. 1/n}
El término 1/nse llama término n-ésimo o término general
Ejercicios 1.
Escribe los ocho primeros términos de cada una de las siguientes sucesion:
a) an=2n b) an=(-1)n/n c) an=2/n d) an=n+1/n e) an=n -1
DETERMINACIÓN DEL TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN
Dada un conjunto cuyos términos están ordenados, es posible hallar el término general que caracteriza a todos los elementos de la sucesión.
EJEMPLO 2: A = { 0,1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6,………..}
Podemos hallar el término general de esta sucesión, y lo expresaremos en función de la letra n que representa a cualquier entero positivo. Analicemos en esta forma
Los numeradores son: 0, 1, 2, 3, 4, 5,….. . Tenemos que 1-1 = 0, 2-1 = 1, 3-1= 2 por lo tanto la función del numerador es n-1.
Los denominadores son: 1, 2, 3, 4, 5, 6,……Tenemos que el denominador es n. Entonces el término general de la sucesión es: an= n-1/n
EJEMPLO 3: B = {0, 7/3, 26/3, 9, 124/9, 215/11,……}
Analicemos:
Los numeradores representa una unidad menos del cubo de cada entero positivo tenemos que: 13 – 1 = 0; 23 – 1= 8- 1= 7; 33-1= 27-1 = 26 : 43-1=64-1=63; 53 – 1 = 125 – 1 = 124; etc.
Los denominadores son los números impares cuya ecuación es: 2n-1
El término general es: an=n3-1/2n-1
EJEMPLO 4: D ={ -1 , 4, -9, 16 , -25 , 36 , -49 . 81 , ………}
Analicemos:
Los términos tienen signos alternados, es decir, después de negativo sigue positivo, entonces el término general multiplicado por (-1)n.
Los números de la sucesión son los cuadrados de los enteros positivos.
Luego, la sucesión su término general es: an= (-1)n.n2
Ejercicios 2
Deduce el término general o n-ésimo para que escribas las sucesiones de cada uno de los siguientes conjuntos ordenados:
a) {1/2, 4/5, 9/10, 16/17, 25/26,.........}
a.
a. b) {2, 1/8, 4/27, 3/64, 6/125, 5/216,……..}
a. c){0,3/2, 8/3, 15/4, 24/5,…….}
a. d){1/2, ¼, 1/8, 1/16,……..}
a. e) {1/3, 3/5, 5/7, 7/9,………}
a. f){3/16, -4/25, 5/36, -6/40,………}
CLASIFICACIÓN DE LAS SUCESIONES
1. 1. SUCESIÓN DECRECIENTE: Una sucesión es decreciente si el aumentar el valor de n, el valor del término de la sucesión disminuye.
Por ejemplo {½, ¼, 1/6, 1/8,………. 1/2n}
Observamos que los términos van disminuyendo.
1. 2. SUCESIÓN CRECIENTE: Una sucesión es creciente si al aumentar el valor de n, el valor del término de la sucesión también aumenta.
Por ejemplo {2, 5/2, 10/3, 17/4, 25/5,……… n2+1/n}
Observamos que los términos van aumentando.
1. 3. SUCESIÓN ALTERNANTE: Una sucesión es alternante cuando no es creciente ni decreciente, pero los signos están alternados en los términos. Por ejemplo {-1, ½, -1/3, ¼, -1/5,…….. (-1)n/n}.
Ejercicios 3
Clasifica las siguientes sucesiones como crecientes, decrecientes o alternantes:
a. a) {1, 0, 2, 0, 3, 0,………}
b. b) {n/n+1}
c. c) {0, -1, 2, -3, 4, -5,……}
d. d) {n2/n3+1}
e. e) {-1, 8, 23, 44, 71,………}
f. f) { 3n + 1 }
g. g) { 2n – 1/n}
h. h) { n }
i. i) { 1 - 1/n+1}
j. j) { 3n – 1/n+1}