PLANTEAMIENTO DE FUNCIONES

En situaciones prácticas de la vida real, surgen con frecuencia relaciones complicadas que pueden expresarse como funciones para ser manejadas de manera más sencilla.
  
EJEMPLO 1

Helena fabrica helados de fruta a un costo de $100 cada uno. Calcula que si los vende a x pesos cada uno, podrá vende aproximadamente 80 - x helado.
La utilidad diaria de Helena es una función del precio  x  al cual vende los  helados:
Calcula:  a). Función  de Ingreso
                 b) Función   de costo
                  c) Utilidad
                  d) El máxima utilidad 
SOLUCION
El  número de helados = 80 - x
Precio venta de helado = x
Costo del helado = 100
Función de Ingreso = (número de helados) ( precio por helado) entonce
                       I ( X )  = (80 - x ) x
                                 = 80x - x²
Función de Costo = (número de helados) (Costo por helado)
                        C (x)   = (80 – x) 100
                                   = 8000 – 100x
La utilidad  = I (X)   -   C(x)
                  = - x²  + 80x  -  ( 8000 – 100x)
                 = -x²  + 80x  -  8000  + 100x (término semejante)
                 = -x²  + 180x  - 8000
                 = - ( x²  - 180 x  + 90 ) – 8000    ( completando cuadrado)
                  = - ( x – 90 )²  - 8000 + 8100
                  = - (x – 90)² + 100
La utilidad máxima es $100, cuando x = 90

EJEMPLO 2
Una compañía de turismo estima que el costo de una excursión para un grupo de  x personas está dado por la función C(x) 0 1800 + 30x miles de pesos. Un grupo completo para una excursión  lo forman 60 personas, el precio del boleto por persona es $90.000, más $1.000 por cada boleto no vendido. Determinemos:

a.       La función de Ingreso, I (x) de la compañía.

b.      La función de Utilidad, U (x), de la compañía.

c.       La máxima utilidad posible de la compañía.

SOLUCIÓN
X  = persona que se inscriben a la excursión
60 –x = boletos quedan sin vender
I (x) = [ 90 + ( 60 –x) ] x
        = ( 150 – x²) miles de pesos
U(x) =  I (x) – C(x)
        = -x² +150x – (1800 +30x)
        = -x² +150x - 1800 – 30x
        = -x² +120x – 1800
       = -( x² – 120x + 60 ) – 1800 ( factor izamos)
       = -( x – 60)² – 1800 + 3600
       = -( x – 60)² + 1800
La mayor utilidad 1800 miles de pesos, se alcanza cuando x = 60