EJEMPLO 1
Helena fabrica helados de fruta a un costo de $100 cada uno. Calcula que si los vende a x pesos cada uno, podrá vende aproximadamente 80 - x helado.
La utilidad diaria de Helena es una función del precio x al cual vende los helados:
Calcula: a). Función de Ingreso
b) Función de costo
c) Utilidad
d) El máxima utilidad
SOLUCION
El número de helados = 80 - x
Precio venta de helado = x
Costo del helado = 100
Función de Ingreso = (número de helados) ( precio por helado) entonce
I ( X ) = (80 - x ) x
= 80x - x2
Función de Costo = (número de helados) (Costo por helado)
C (x) = (80 – x) 100
= 8000 – 100x
La utilidad = I (X) - C(x)
= - x2 + 80x - ( 8000 – 100x)
= -x2 + 80x - 8000 + 100x (término semejante)
= -x2 + 180x - 8000
= - ( x2 - 180 x + 90 ) – 8000 ( completando cuadrado)
= - ( x – 90 )2 - 8000 + 8100
= - (x – 90)2 + 100
La utilidad máxima es $100, cuando x = 90
EJEMPLO 2
Una compañía de turismo estima que el costo de una excursión para un grupo de x personas está dado por la función C(x) 0 1800 + 30x miles de pesos. Un grupo completo para una excursión lo forman 60 personas, el precio del boleto por persona es $90.000, más $1.000 por cada boleto no vendido. Determinemos:
a. La función de Ingreso, I (x) de la compañía.
b. La función de Utilidad, U (x), de la compañía.
c. La máxima utilidad posible de la compañía.
SOLUCIÓNX = persona que se inscriben a la excursión
60 –x = boletos quedan sin vender
I (x) = [ 90 + ( 60 –x) ] x
= ( 150 – x2) miles de pesos
U(x) = I (x) – C(x)
= -x2 +150x – (1800 +30x)
= -x2 +150x - 1800 – 30x
= -x2 +120x – 1800
= -( x2 – 120x + 60 ) – 1800 ( factor izamos)
= -( x – 60)2 – 1800 + 3600
= -( x – 60)2 + 1800
La mayor utilidad 1800 miles de pesos, se alcanza cuando x = 60
